МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА» ІКТА кафедра ЗІ
З В І Т до лабораторної роботи №1 з курсу: «Комп'ютерні методи дослідження інформаційних процесів і систем» на тему: «Методи уточнення коренів нелінійних рівнянь» Варіант № 1  1. Мета роботи – ознайомлення з методами уточнення коренів нелінійних рівнянь з одним невідомим. 2. Короткі теоретичні відомості Нехай задане рівняння
, (1) де
– неперервна функція. Необхідно знайти всі або деякі корені рівняння (1). Подібна задача розв’язується за два етапи. Перший етап. На цьому етапі розв’язується задача відокремлення коренів нелінійного рівняння. Задача полягає у виокремленні достатньо малої області, що належить області допустимих значень функції
, у якій існує один і тільки один корінь рівняння (1). Відокремлення або ізоляція коренів рівняння (1) грунтується на теоремі Больцано-Коші: якщо неперервна функція
на кінцях відрізка
має різні за знаком значення, тобто
, то на цьому відрізку рівняння (1) має хоча б один корінь. Якщо крім цього похідна
існує і зберігає знак на відрізку
, тобто
, або
, то корінь єдиний. Задача ізоляції коренів нелінійного рівняння (1) вирішується шляхом табулювання функції
або графічно - шляхом побудови графіку функції
і визначення за графіком відрізків, на яких локалізовано корені рівняння (1). Графік функції як правило будують приблизно із застосуванням методів математичного аналізу. Результати першого етапу є вихідними даними для задачі уточнення коренів нелінійного рівняння. Другий етап. Уточнення наближеного розв’язку до заданої точності. Вихідними даними для задачі уточнення кореня є рівняння (1) і відрізок
. Відомо, що функція
має різні знаки на кінцях цього проміжку, тобто виконується умова
(2) Крім того,
та
– неперервні і зберігають знак на проміжку
. Необхідно знайти корінь рівняння (1) із заданою граничною абсолютною похибкою Е. Поширеними методами розв’язку цієї задачі є метод поділу проміжку навпіл, метод хорд, метод Ньютона (дотичних), комбінований метод хорд та дотичних, метод простої ітерації, метод Ейткена–Стефенсона і метод Стефенсона. Метод поділу проміжку навпіл Цей метод відомий також за назвами методу бісекцій або методу дихотомії. Це простий і надійний алгоритм уточнення коренів рівняння (1). Суть методу полягає в тому, що відрізок
ділиться навпіл, тобто вибирається перше наближення кореня (Рис.1):
(3) Якщо
, тоді
є коренем рівняння (1). 
Рис.1. Якщо
, то вибирають той з відрізків
чи
, на кінцях якого функція має різні знаки. Обраний відрізок знову ділять навпіл і т.д. Процес обчислень проводиться доти, доки величина відрізку
не стане меншою від заданої похибки Е. Метод досить стійкий до похибок заокруглень. Але й збігається теж повільно. При збільшенні точності значно зростає об’єм обчислень. Тому на практиці метод часто використовують для грубого визначення початкового наближення кореня, а далі застосовують швидко збіжний ітераційний метод. Метод бісекцій збігається для будь-яких неперервних функцій. Кількість ітерацій, необхідних для досягнення точності E, оцінюють співвідношенням:
Алгоритм методу половинного ділення
3. Завдання Знайти корінь рівняння з граничною абсолютною похибкою Е = 10–4, відокремлений на відрізку [a, b]. Варіант Рівняння Відрізок  1 ех + х = 0 [-1;0]   4.1 Блок-схема алгоритму. Метод Main( ) 4.2 Блок-схема алгоритму. Метод Vvedennya( ) 4.3 Блок-схема алгоритму. Метод Obchyslennya( )
5. Список ідентифікаторів констант, змінних, процедур і функцій, використаних в програмі 1) Vvedennya( ) – метод, який забезпечує ввід меж відрізку та граничної абсолютної похибки; a, b – межі відрізку; E – гранична абсолютна похибка; 2) Obchyslennya( ) – метод, який забезпечує знаходження кореня рів...